Prawdopodobieństwo wyrzucenia innej liczby oczek
Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego
Prawdopodobieństwo liczby pierwszej
Prawdopodobieństwo sumy wyrzuconych oczek mniejszej niż 10
Prawdopodobieństwo wygranej
Prawdopodobieństwo wylosowania kart
Zdarzenia losowe
matematyka
Losowanie kul
rachunek prawdopodobieństwa
Rzut monetą
matematyka
Losowanie kul o różnych kolorach
Losowanie bez zwracania
Prawdopodobieństwo wylosowania wszystkich czarnych kul
Napisz wzór funkcji wykładniczej
Wyznacz wartość parametru k
Rozwiąż równanie funkcji wykładniczej
Który z prostokątów o obwodzie 16 ma największe pole
Dla jakiej wartości parametru m równanie ma dwa rozwiązania nieujemne.
Rozwiąż nierówność, gdy x należy do liczb rzeczywistych
Znajdź równanie prostej prostopadłej
Zbadaj liczbę rozwiązań równania
Zbadaj przebieg zmienności funkcji
Zbadaj przebieg zmienności funkcji i omów jej własności.

Badanie przebiegu zmienności funkcji i jej własności

23
Mariusz Gil

Niech [[x \in R]]. Zbadaj przebieg zmienności funkcji [[f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]] i omów jej własności.

Rozwiązanie

- Narysujemy wykres funkcji [[f(x)]].

Zaczniemy od przedstawienia wzoru funkcji [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] w nieco innej postaci.

Zauważmy,że

[[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2})-\frac{1}{2} = sin 2(x - \frac{\pi}{4})-\frac{1}{2}]]

jest to więc funkcja

[[f_1(x) = sin 2x ]]

przesunięta o wektor [[\frac{\pi}{4};-\frac{1}{2}]].

Wykres funkcji [[f_1]] przedstawia poniższy rysunek

Wykres funkcji

Wykres funkcji

[[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]]

powstałej z przesunięcia wykresu funkcji [[f_1(x) = sin 2x]] o wektor [[\frac{\pi}{4};-\frac{1}{2}]] przedstawia więc poniższy rysunek

Wykres funkcji

Teraz z wykresu funkcji odczytamy jej podstawowe własności.

Dziedzina funkcji

Jeżeli mamy daną funkcję [[f:X \to Y]], to liczby należące do [[x]] to argumenty funkcji. Zbiór $X$ nazywamy wtedy dziedziną funkcji.

Dziedziną funkcji [[f(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]] jest więc zbiór liczb rzeczywistych [[x\in R]];

Zbiór wartości funkcji

Jeżeli mamy daną funkcję [[f:X \to Y]], to liczby należące do [[Y]] to jej wartości. Zbiór $Y$ nazywamy wtedy zbiorem wartości funkcji.

Z rysunku funkcji [[f(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]] odczytujemy,że zbiorem jej wartości jest przedział [[-\frac{3}{2};\frac{1}{2}]];

Miejsca zerowe funkcji

Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. Miejsca zerowe funkcji [[f(x)]] , to rozwiązania równania [[f(x) = 0]]. Geometrycznie miejsca zerowe funkcji to pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osią [[OX]];

Z rysunku nie możemy odczytać miejsc zerowych funkcji [[f(x) = sin(2x-\frac{\pi}{2})-\frac{1}{2}]], więc musimy rozwiązać równanie

[[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} = 0]]

stąd

[[sin(2x - \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}]]

podstawmy teraz w miejsce [[2x - \frac{\pi}{2}]] parametr [[t \in R]]. Mamy wtedy

[[sin t = \frac{1}{2}]]

Ponieważ w przedziale [[[0;2\pi]]] powyższe równanie ma dwa rozwiązania postaci

[[t_1 = \frac{\pi}{6}]] oraz [[t_2 = \frac{5\pi}{6}]]

oraz okres funkcji [[f(x) = sin x]] wynosi [[T = 2\pi]], więc rozwiązania równania [[sin t = \frac{1}{2}]] są postaci

[[t_1 = \frac{\pi}{6} + 2k\pi]]

oraz

[[t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]]

stąd ponieważ

[[t = 2x - \frac{\pi}{2}]]

mamy,że

[[2x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi]]

czyli

[[2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi]]

czyli

[[2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi]]

stąd

[[x = \frac{\pi}{3} + k\pi]]

gdzie [[k]] jest dowolna liczbą całkowitą;

oraz

[[2x - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]]

czyli

[[2x = \frac{\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} + 2k\pi]]

więc

[[2x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi]]

stąd

[[x = \frac{2\pi}{3} + k\pi]]

gdzie [[k]] jest dowolna liczbą całkowitą;

i funkcja

[[f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]]

posiada nieskończenie wiele miejsc zerowych postaci

[[...-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}...]]

Monotoniczność funkcji

[[f(x):X \to Y]] jest funkcją rzeczywistą

[[1^0]] rosnącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że

[[f(x_1) \lt f(x_2)]]

geometrycznie funkcja jest rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji rosną jej wartości;

[[2^0]] malejącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że

[[f(x_1)>f(x_2)]]

geometrycznie funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji maleją jej wartości;

[[3^0]] stałą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że

[[f(x_1) = f(x_2)]]

geometrycznie funkcja jest stała, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się;

[[4^0]] nierosnącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że

[[f(x_1) \geq f(x_2)]]

geometrycznie funkcja jest nierosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się lub maleją;

[[5^0]] niemalejącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że

[[f(x_1) \leq f(x_2)]]

geometrycznie funkcja jest niemalejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się lub rosną;

Z rysunku odczytujemy,że funkcja [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]]

-jest malejąca w przedziałach [[(\frac{\pi}{2}+ k\pi; \pi + k\pi)]];

- jest rosnąca w przedziałach [[(k\pi; \frac{\pi}{2} + k\pi)]];

gdzie [[k]] jest dowolna liczbą całkowitą;

Okresowość funkcji

Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. Jeżeli istnieje liczba [[T \in X]] taka, że dla dowolnego [[x \in X]] jest [[x + T \in X]] oraz zachodzi warunek

[[f(x + T) = f(x)]]

to mówimy, że funkcja [[f]] jest okresowa. Liczbę [[T \in X]] nazywamy wtedy okresem funkcji [[f]]. Geometrycznie funkcja jest okresowa jeżeli jej wykres "powtarza się" przedziałami;

Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] jest funkcją okresową a jej okres wynosi [[T = \pi]];

Różnowartościowość funkcji

Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. [[f(x):X \to Y]] jest funkcją różnowartościową jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \neq x_2]] wynika, że

[[f(x_1) \neq f(x_2)]]

geometrycznie funkcja jest różnowartościowa jeżeli każda prosta o równaniu [[y = c]], gdzie [[c\in R]], ma co najwyżej jeden punkt wspólny z wykresem funkcji;

Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] nie jest różnowartościowa;

Parzystość i nieparzystość funkcji

Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą, jeżeli dla dowolnych [[x, -x \in X]] zachodzi warunek

[[f(x) = f(-x)]]

to funkcja [[f]] jest parzysta w zbiorze [[X]]; geometrycznie funkcja jest parzysta jeżeli jej wykres jest symetryczny względem osi [[OY]];

Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą, jeżeli dla dowolnych [[x,-x \in X]] zachodzi warunek

[[-f(x) = f(-x)]]

to funkcja [[f]] jest nieparzysta w zbiorze [[X]]; geometrycznie funkcja jest nieparzysta jeżeli jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;

Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}]] nie jest funkcją parzysta, ani nieparzystą;

Ocena pracy

Zgłoś błąd

Szukaj materiałów

© 2018 Wszystkie prawa zastrzeżone | All rights reserved Regulamin Polityka prywatności

Porozmawiaj z nami

Wybierz interesujące Ciebie tematy

Dane kontaktowe

!
!
!

Dla firm

!