Napisz wzór funkcji wykładniczej [[f(x) = A^x + B]] gdzie [[A \gt ]] oraz [[B \in R]], wiedząc, że do jej wykresu należą punkty [[A = (1;3)]] oraz [[B = (2;5)]], a następnie naszkicuj jej wykres.
Rozwiązanie
Niech [[x\in R]]. Mamy, że [[f(x) = A^x + B]] oraz do wykresu funkcji [[f(x)]] należą punkty [[A = (1;3)]] oraz [[B = (2;5)]].
Podstawmy więc w miejsce [[x]] i [[y]] odpowiednie wartości tzn. policzmy [[f(1) = 3]] oraz [[f(2) = 5]].
Mamy zatem
[[f(1) = A^1 + B = A + B = 3]]
oraz
[[f(2) = A^2 + B = 5]]
i w konsekwencji dostaliśmy poniższy układ warunków
[[\begin{cases} \begin{matrix} A + B = 3 \ \\ A^2 + B = 5 & \\ A \gt 0 \end{matrix}\end{cases}]]
Z pierwszego równania mamy, że
[[A = 3 - B]]
co po podstawieniu do równania
[[A^2 + B = 5]]
prowadzi do poniższego równania kwadratowego
[[(3 - B)^2 + B = 5]]
stąd
[[9 - 6B+ B^2 + B = 5]]
i po uporządkowaniu dostajemy równanie
[[B^2 - 5B + 4 = 0]]
Mamy tutaj [[a = 1]], [[b =-5]] oraz [[c = 4]]. Stąd
[[\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 25 - 16 = 9]]
ponadto
[[\sqrt{\Delta}=\sqrt {9} = 3]]
stąd
[[B_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2\cdot a} = \frac{-(-5) - 3}{2\cdot 1} =\frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1]]
[[B_2= \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\cdot a} = \frac{-(-5) + 3}{2\cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4]]
Ponieważ [[A = 3 - B]] więc
[[A_1 = 3 - B_1 = 3 - 1 = 2]]
oraz
[[A_2 = 3 - B_2 = 3 - 4 =-1]]
Teraz z założenia ,że [[A \gt 0]] odrzucamy rozwiązania [[A_2 = -1]] oraz [[B_2 = 4]] i mamy, że rozwiązaniami układu
[[\begin{cases} \begin{matrix} A + B = 3 \ \\ A^2 + B = 5 & \\ A \gt 0 \end{matrix}\end{cases}]] są liczby [[A = 2]] oraz [[B = 1]].
Stąd wzór funkcji wykładniczej [[f(x) = A^x + B]] ma postać
[[f(x) = 2^x + 1]]
Wykres funkcji [[f(x) = 2^x + 1]] powstaje z przesunięcia wykresu funkcji [[f_1(x) = 2^x]] o wektor [[\overrightarrow{v}=[0;1]]] a więc o jedną jednostkę do góry.
Wykres funkcji [[f(x) = 2^x + 1]] przedstawia poniższy rysunek
