Wyznacz wartość parametru [[k \in R]], jeżeli wiadomo, że dla [[x = 2]] funkcje
[[f(x) =(\frac{1}{3})^{x−3}]]
oraz
[[g(x) = 2^{3kx+k+1} + 1]]
przyjmują tę samą wartość.
Rozwiązanie
Policzymy, [[f(2)]] oraz [[g(2)]], a następnie rozwiążemy równanie
[[f(2) = g(2)]]
Mamy więc
[[f(2) = (\frac{1}{3})^{2-3}=(\frac{1}{3})^{-1}={(3^{-1})}^{-1}=3^{-1\cdot(-1)}=3^1=3]]
oraz
[[g(2) = 2^{3k\cdot 2+k+1} + 1 = 2^{6k+k+1} + 1 = 2^{7k+1} + 1]]
Rozwiążmy więc równanie
[[f(2) = g(2)]]
mamy,że
[[3 = 2^{7k+1} + 1]]
stąd
[[2^{7k+1} = 3 - 1 = 2 = 2^1]]
i porównując wykładniki otrzymujemy równanie
[[7k + 1 = 1]]
czyli równanie
[[7k = 1 - 1 = 0]]
którego rozwiązaniem jest
[[k = 0]]
Zatem szukana wartość parametru [[k]] wynosi
[[k=0]]
