Niech [[x\in R]]. Zbadaj przebieg zmienności funkcji [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]] i omów jej własności.
Rozwiązanie - Narysujemy wykres funkcji [[f(x)]].
Zaczniemy od przedstawienia wzoru funkcji [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]] w nieco innej postaci.
Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej mamy, że
[[|x - 1|\begin{cases} \begin{matrix} x - 1, dla x \in (1;+\infty) \ \\ -(x - 1), dla x\in (-\infty; 1] \end{matrix} \end{cases}]]oraz
[[|x + 1|\begin{cases} \begin{matrix} x + 1, dla x \in (-1;+\infty) \ \\ -(x + 1), dla x \in (-\infty; -1] \end{matrix} \end{cases}]]Stąd
dla [[x \in (-\infty;-1]]] mamy że
f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 = -(x - 1) - (x + 1) - 2 = -x + 1 - x - 1 - 3 = -2x - 3]]
następnie dla [[x \in (-1;1]]] mamy że
[[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 = -(x - 1) + (x + 1) - 3 = -x + 1 + x + 1 - 3 = -1]]oraz dla [[x \in (1;+\infty)]] mamy że
[[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3 = (x - 1) + (x + 1) - 3 = x - 1 + x + 1 - 3 = 2x - 3]]więc
[[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2 = \begin{cases} \begin{matrix} -2x - 3, dla x \in (-\infty; -1) \ \\ - 1, dla x \in (-1; 1] \ \\ 2x - 3, dla x \in (1; +\infty) \end{matrix} \end{cases}]]Możemy więc naszkicować wykres funkcji [[f(x) = |x - 1 | + |x + 1| - 3]]
Mamy,że
Teraz z wykresu funkcji odczytamy jej podstawowe własności.
Dziedzina funkcji
Jeżeli mamy daną funkcję [[f:X \to Y]] to liczby należące do [[x]] to argumenty funkcji. Zbiór [[X]] nazywamy wtedy dziedziną funkcji.
Dziedziną funkcji [[f(x) = |x-1|+|x + 1| - 3]] jest więc zbiór liczb rzeczywistych [[x \in R]];
Zbiór wartości funkcji
Jeżeli mamy daną funkcję [[f:X \to Y]], to liczby należące do [[Y]] to jej wartości. Zbiór [[Y]] nazywamy wtedy zbiorem wartości funkcji.
Z rysunku funkcji [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]] odczytujemy,że zbiorem jej wartości jest przedział [[[-1;+\infty)]];
Miejsca zerowe funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. Miejsca zerowe funkcji [[f(x)]], to rozwiązania równania [[f(x) = 0]]. Geometrycznie miejsca zerowe funkcji to pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osią [[OX]];
Z rysunku odczytujemy, że miejsca zerowe funkcji [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]] to liczby [[x_1=-\frac{3}{2}]] oraz [[x_2 = \frac{3}{2}]];
Monotoniczność funkcji
[[f(x):X \to Y]] jest funkcją rzeczywistą[[1^0]] rosnącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) \lt f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest rosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji rosną jej wartości;
[[2^0]] malejącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) \gt f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest malejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji maleją jej wartości;
[[3^0]] stałą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu iż [[x_1 \lt x_2]] wynika, że
[[f(x_1) = f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest stała, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się;
[[4^0]] nierosnącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu iż [[x_1 \lt x_2]] wynika,że
[[f(x_1) \geq f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest nierosnąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się lub maleją;
[[5^0]] niemalejącą, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \lt x_2]] wynika,że [[f(x_1) \leq f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest niemalejąca, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów funkcji jej wartości nie zmieniają się lub rosną;
Z rysunku odczytujemy,że funkcja [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]]
-jest malejąca w przedziale [[(-\infty;-1)]];
-jest stała w przedziale [[(-1;1)]];
- jest rosnąca w przedziale [[(1;+\infty)]];
Ponadto funkcja [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]] jest
- nierosnąca w przedziale [[(-\infty;1)]];
- niemalejąca w przedziale [[(-1; +\infty)]];
Okresowość funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. Jeżeli istnieje liczba [[T \in X[]] taka, że dla dowolnego [[x\in X]] jest [[x + T \in X]] oraz zachodzi warunek
[[f(x + T) = f(x)]],
to mówimy, że funkcja [[f]] jest okresowa. Liczbę [[T \in X]] nazywamy wtedy okresem funkcji [[f]]. Geometrycznie funkcja jest okresowa jeżeli jej wykres "powtarza się" przedziałami;
Z rysunku odczytujemy,że funkcja [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 3]] nie jest funkcją okresową;
Różnowartościowość funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą. [[f(x):X \to Y]] jest funkcją różnowartościową, jeżeli dla dowolnych [[x_1, x_2 \in X]] z faktu, iż [[x_1 \neq x_2]] wynika,że
[[f(x_1) \neq f(x_2)]]
geometrycznie funkcja jest różnowartościowa, jeżeli każda prosta o równaniu [[y = c]], gdzie [[c \in R]], ma co najwyżej jeden punkt wspólny z wykresem funkcji;
Z rysunku odczytujemy,że funkcja [[f(x) = |x - 1| + |x + 1|- 3]] nie jest różnowartościowa;
Parzystość i nieparzystość funkcji
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą, jeżeli dla dowolnych [[x,-x \in X]] zachodzi warunek
[[f(x) = f(-x)]]
to funkcja [[f]] jest parzysta w zbiorze [[X]]; geometrycznie funkcja jest parzysta jeżeli jej wykres jest symetryczny względem osi [[OY]];
Niech [[f(x):X \to Y]] będzie funkcją rzeczywistą, jeżeli dla dowolnych [[x,-x \in X]] zachodzi warunek
[[-f(x) = f(-x)]]
to funkcja [[f]] jest nieparzysta w zbiorze [[X]]; geometrycznie funkcja jest nieparzysta, jeżeli jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych;
Z rysunku odczytujemy, że funkcja [[f(x) = |x - 1| + |x + 1| -3]] jest funkcją parzysta, ponieważ jej wykres jest symetryczny względem osi [[OY]] oraz nie jest funkcją nieparzystą;
